согласно закону проверка наличия необходимых документов для въезда в другую страну осуществляется представителями перевозчика.
В реалии у нас дело обстоит так
при полете на самолете, представители авиакомпании или персонал аэропорта при регистрации должны проверить срок действия паспорта и наличие виз/ваучеров/обратного билета итд. В случае нестандартной ситуации (скажем гражданин Гванделупы вылетает в Тимбукту

) они консультируются с базой данных по визам Тиматик.
Пограничники имеют право проверить только правомочность выезда данного гражданина из РФ. Визы их не интересуют, и все ихние потуги проверить их - не более чем частная инициатива/самоуправство.
При поездках наземным транспортом, как правило перевозчик поручает проверку визу тем же самым пограничникам, но в данном случае все проще, так как нет таких штрафов, да и пассажира вернуть гораздо проще.